شطرنج معیار ما برای سنجش عمق است. یک انتخاب طراحی بیسروصدا به WordChess فضای بازیهای ممکنِ بسیار بزرگتری میدهد.
به انگلیسی نوشته و ویرایش شده است. این نسخهٔ فارسی با ترجمهٔ ماشینی تهیه شده است؛ هر جا دقت اهمیت دارد، متن اصلی انگلیسی معتبر است. خواندن متن اصلی به انگلیسی ←
در سال 1950، کلود شانون، پدر نظریهٔ اطلاعات، برآورد کرد که چند بازی متفاوت شطرنج ممکن است. پاسخ او، تقریباً 10120، به عدد شانون مشهور شد و از آن زمان لنگرگاه شهود ما بوده است. 1 این عدد چنان بزرگ است که جهان فیزیکی را شرمنده میکند، جهانی که تنها حدود 1080 اتم دارد. 6 میتوانستید به هر اتم صفحهٔ شطرنج خودش را بدهید و باز صفحهٔ کافی برای انجام همهٔ بازیها نداشته باشید.
شطرنج این جایگاه را بهحق به دست آورده است. در آغاز بازی، سفید 20 حرکت دارد؛ سیاه با 20 حرکت پاسخ میدهد، و پس از تنها یک تبادل، 400 وضعیت وجود دارد. پس از شش نیمحرکت، این شمار از 119 میلیون میگذرد؛ تا نیمحرکت دهم به 69 تریلیون میرسد. 4 بازیکنان این را ضریب انشعاب مینامند: شمار انتخابهای مجاز در هر نوبت. در شطرنج میانگین آن حدود 35 است. 2 همین عدد متوسط، که حرکت به حرکت در خود ضرب میشود، موتور رازآلودگی بازی است. در بیست حرکت نخست، حدود 1060 بازی پدید میآورد. سرچشمهٔ عمق شطرنج مهرهها نیستند. انشعاب است.
شمار حرکتهای آغازین شطرنج بهدقت معلوم است. شمار حرکتهای WordChess برآورد است، اما این دو بازی چنان سریع از هم فاصله میگیرند که شکاف میانشان در همان یک نوبت انکارناپذیر است. 4
| پس از حرکت | شطرنج، دقیق 4 | WordChess، برآورد 7 |
|---|---|---|
| 1 | 400 | ~1012 |
| 2 | 197,281 | ~1018 |
| 3 | 119,060,324 | ~1024 |
| 4 | 84,998,978,956 | ~1030 |
| 5 | 69,352,859,712,417 | ~1036 |
ارقام شطرنج شمارشهای دقیق تولید حرکت (perft) هستند. 4 ارقام WordChess فرض میکنند که هر بازیکن در نخستین نوبت خود حدود یک میلیون جایگذاری مجاز دارد (پس پس از حرکت هر دو، حدود 1012) و در هر نوبت پس از آن، با فرضی محتاطانه، هزار جایگذاری؛ یادداشت روش را ببینید.
WordChess همچون خویشاوند ملایمتر به نظر میرسد، بازیای واژهای روی یک شبکه، نزدیکتر به جدول کلمات متقاطع تا به یک نبرد تنبهتن. این برداشت درست وارونه است، و دلیلش تنها یک سطر در قواعد آن است: هر بازیکن یک مجموعهٔ کامل صدمهرهای در دست دارد. 7
نه ردیف هفتمهرهای در کار است، نه بخت کشیدن مهره، نه انتظار برای یک واکه. در هر نوبت، بازیکن میتواند به سراغ تقریباً هر یک از 148,941 واژهٔ فرهنگ لغت برود، واژههایی به طول حداکثر بیستوپنج حرف، یعنی به پهنای تخته، و جایی برای گذاشتنش بجوید. 7 اسکرابل، که هفت مهرهٔ تصادفیاش آن را مهار کرده، تنها از آنچه اتفاقاً در ردیف مهرهها هست میتواند بسازد. 5 WordChess این گلوگاه را یکسره برمیدارد.
پیامد آن خشن است. همان نوبت نخست به چیزی میان یک و دو میلیون جایگذاری مجاز گشوده میشود: یک واژه، یک جهت، و یک نقطه روی تختهٔ کاملاً باز 25×25. وقتی هر دو بازیکن تنها یک بار حرکت کردهاند، بازی به چیزی در حدود یک تریلیون وضعیت انشعاب یافته است. شطرنج، پس از همان تبادل، چهارصد وضعیت دارد. 4
قواعد سادهترند. فضای امکانها نه.
هر پلهٔ نشاندار چهل مرتبهٔ بزرگی، یعنی ضریبی برابر 1040، بالاتر از پلهٔ زیرین است. در این مقیاس، بیست حرکت نخست WordChess بهروشنی از شمار اتمهای جهان فراتر میرود و درست همانجا فرود میآید که یک بازی کامل شطرنج قرار دارد. 1
با پر شدن تخته، ضریب انشعاب شطرنج به سوی 35 بالا میرود و همانجا میماند. ضریب WordChess در حد هزاران باقی میماند: هر واژهای که بازی شده به لنگرگاه تازهای برای اتصال بدل میشود، و مجموعهٔ کامل مهرهها یعنی تنها محدودیت واقعی این است که فرهنگ لغت کدام تلاقیها را مجاز میداند. 7
این را به جلو پیش ببرید. حتی اگر هر نوبت، گشایش پربار هم از جمله، با فرضی عمداً محتاطانه تنها هزار حرکت مجاز عرضه میکرد، WordChess در بیست حرکت نخست خود به 10120 میرسید، یعنی عدد شانون، پیچیدگی یک بازی کامل شطرنج. ده هزار حرکت در هر نوبت را مجاز بدانید، که هنوز معقول است، و بیست حرکت به سوی 10160 بالا میرود: فاصلهای به اندازهٔ شصت تا صد مرتبهٔ بزرگی نسبت به 1060 شطرنج. 1
برآورد را کوچک کنید تا جایی که فرض کنید بازیکن در هر نوبت تنها سیصد حرکت مجاز مییابد، کسری از شمار واقعی، و بیست حرکت باز هم 1099 به دست میدهد. همچنان چهل مرتبهٔ بزرگی فراتر از شطرنج. این نتیجه از هر فرض بدبینانهای که به آن بدهید جان سالم به در میبرد. 1
اعداد شطرنج حاصل دههها محاسبهٔ جامعاند؛ معلوم هستند. اعداد WordChess برآوردهایی سنجیدهاند که از پارامترهای واقعی آن گرفته شدهاند، یعنی تختهای 25×25، فرهنگ لغتی با 148,941 واژه، و یک مجموعهٔ کامل 100مهرهای در دست هر بازیکن، و دامنهٔ خطای گستردهای دارند. آنچه جای تردید ندارد جهت و مقیاس این شکاف است. هر فرض در این نوشته محتاطانه برگزیده شده است، و شکاف همچنان عظیم است.
شطرنج شما را مقید میکند: اسب مثل اسب حرکت میکند، سرباز یک خانه یک خانه پیش میخزد، و گزینههایتان، هرچند پرمایه، محدود و آشنا هستند. WordChess کل زبان و کل تخته را به دستتان میدهد و از شما میخواهد انتخاب کنید. این همان معاملهای است که طراحی انجام میدهد، و دلیل آن است که شبکهٔ دوستانه اقیانوسی ترکیبیاتی را پنهان میکند.
هیچیک از اینها ثابت نمیکند که خوب بازی کردنِ WordChess دشوارتر است؛ فضای جستوجوی بزرگتر همان راهبرد عمیقتر نیست، و نبوغ شطرنج در این است که از انشعاب محدودش چه اندازه معنا بیرون میکشد. اما هر کس بازی واژهای را گزینهٔ سبکوزن میپندارد، ریاضیات را درست وارونه فهمیده است. WordChess در بیست حرکت نخست خود، بازی بزرگ شاهان را تقریباً کوچک جلوه میدهد.
Method. "20 moves" means 20 by each player, 40 half-moves, the chess convention. Chess: game count ≈ b40 with b ≈ 30–35 → ~1060. WordChess: opening branching estimated from (playable words that fit through the centre) × (placements per word) ≈ 106 per side; later turns held at a conservative 103–104. The 20-move figures deliberately apply that later-turn b to all 40 half-moves, openings included: b40 ≈ 10120–10160, a floor; counting the two ~106 opening turns adds about six more orders of magnitude (≈10126–10166). The 1099 floor uses b = 300 throughout. These are estimates, not proofs; see "A note on certainty."