کارایی پنهان مبنای سه، و اینکه آیا بازی‌ای که بر آن بنا شده، بی‌سروصدا ماشینی ظریف‌تر است یا نه.
به انگلیسی نوشته و ویرایش شده است. این نسخهٔ فارسی با ترجمهٔ ماشینی تهیه شده است؛ هر جا دقت اهمیت دارد، متن اصلی انگلیسی معتبر است. خواندن متن اصلی به انگلیسی ←
3927 همان 2048 است که در سه بُعد و با حسابی دیگر از نو ساخته شده. تخته مکعبی 3×3×3 با بیست‌وهفت خانه است، و کل مکعب را در هر یک از شش جهت هل می‌دهید. وقتی سه کاشی با مقدار برابر به هم برخورد می‌کنند، دو برابر نمی‌شوند؛ سه برابر می‌شوند. یک سه به نُه بدل می‌شود، یک نُه به بیست‌وهفت، و همین‌طور پیش: 81، 243، 729. خود نام بازی سه کاشی نخست را برمی‌شمارد، 3·9·27، و همه‌چیز در این طراحی، از بالا تا پایین، سه است: سه خانه در هر محور، سه کاشی برای هر ادغام، سه به‌عنوان ضریب رشد. 4
نیای آن سرسختانه دودویی است. 2048 کلاسیک با توان‌های دو کار می‌کند، 2، 4، 8، 16…، و کاشی‌ها را جفت‌جفت ادغام می‌کند. دو عددِ شیر یا خط است، عدد ترانزیستور، عدد بیت. پس پرسش طبیعی‌ای که بازیکنی کنجکاو مطرح می‌کند این است که آیا جایگزینی دو با سه صرفاً نوآوری است، یا سه از همان آغاز مزیتی واقعی را پنهان کرده بود. معلوم می‌شود ریاضیات در این باره نظری دارد، و این نظر به‌طرز شگفت‌آوری قاطع است.
تصور کنید باید ماشینی بسازید که اعداد را ذخیره کند. هر جایگاه رقم برایتان هزینه‌ای دارد، یک چرخ‌دنده، یک سیم، یک لامپ، و این هزینه با مبنا افزایش می‌یابد، چون یک رقم در مبنای b به b حالت تمییزپذیر نیاز دارد. اما مبنای بزرگ‌تر همچنین به این معناست که برای رسیدن به هر عدد معین به رقم‌های کمتری نیاز دارید. اینجا کشمکشی هست، و نامی دارد: اقتصاد مبنا (radix economy).
به‌طور صوری، اقتصادِ نمایش عدد N در مبنای b برابر است با حاصل‌ضرب مبنا در شمار رقم‌ها، E(b,N) = b ⌊log_b N + 1⌋. 1 مبنای بزرگ برایتان اعداد کوتاه اما رقم‌های گران می‌خرد؛ مبنای کوچک برای هر رقم ارزان است اما پرطول‌وتفصیل می‌شود. جایی میان این دو سر، نقطهٔ بهینه‌ای نشسته است، و آن نقطه جایی نیست که بیشتر فناوری ما در آن فرود آمد.
| مبنا | b ÷ ln b | در مقایسه با بهینه |
|---|---|---|
| 2 | 2.885 | +6.2% |
| 3 | 2.731 | +0.5% |
| e ≈ 2.718 | 2.718 | بهینه |
| 10 | 4.343 | +59.8% |
برای N بزرگ، اقتصاد مانند (b ÷ ln b) · ln N رفتار می‌کند، پس کارایی یک مبنا تماماً به ضریب b ÷ ln b بستگی دارد. با اندکی حسابان آن را کمینه کنید و پاسخ دقیق و غریب است: کم‌هزینه‌ترین مبنا از همه e است، تقریباً 2.71828. 1 البته نمی‌توانید رایانه‌ای با 2.718 حالت برای هر رقم بسازید. اما می‌توانید بپرسید کدام عدد صحیح به این آرمان نزدیک‌تر است، و برنده، که هم دو و هم ده را شکست می‌دهد، سه است.
این فاصله صرفاً دانشگاهی نیست. مبنای سه در کمتر از نیم درصدی بهینهٔ نظری قرار می‌گیرد، در حالی که مبنای دو شش درصد اضافه‌بها می‌پردازد و مبنای ده شصت درصدِ کمرشکن. راهی ملموس برای حس کردنش: برای نوشتن همهٔ اعداد از 0 تا 999,999، مبنای دو به 20 رقم نیاز دارد، مبنای ده به 6، اما مبنای سه تنها به 13، و 13×3 جمعی کوچک‌تر از 20×2 است. 1 سه به‌راستی شمارش بیشتری را در ساختاری کمتر جا می‌دهد.
از طبیعت خواسته شد کارآمدترین راه شمردن را نام ببرد، و با عددی گنگ پاسخ داد. نزدیک‌ترین عدد صحیح به آن پاسخ، سه است.
این فقط کنجکاویِ کتاب‌های درسی نیست. در 1958، در دانشگاه دولتی مسکو، گروهی به رهبری نیکولای بروسنتسوف و ریاضی‌دان سرگئی سوبولف، Setun را ساختند، مشهورترین رایانهٔ سه‌سه‌ای (ternary) که تاکنون ساخته شده است. 3 در حالی که غرب به بیت‌ها متعهد می‌شد، Setun با تریت‌ها (trit) می‌شمرد، و از طرحی به‌ویژه زیبا بهره می‌گرفت: سه‌سه‌ای متوازن، که سه مقدار رقمش نه 0، 1، 2، بلکه −1، 0، +1 است. 2
این تقارن بی‌درنگ ثمر می‌دهد. هر عدد علامت خودش را با خود دارد، بی‌نیاز از بیت علامت جداگانه و پیچ‌وتاب‌های متمم دو، و برای قرینه کردن هر مقدار کافی است همهٔ رقم‌هایش را وارونه کنید. گرد کردن و بریدن به یک عملیات بدل می‌شوند. دونالد کنوت آن را «شاید زیباترین دستگاه عددی از همه» دانست. 2 بروسنتسوف که ترانزیستور در اختیار نداشت، سه حالت پایدار را از هسته‌های فریتی جفت‌شده بیرون کشید؛ حدود پنجاه دستگاه Setun ساخته شد که بیشترشان برای آموزش ریاضیات به دانشگاه‌های سراسر شوروی فرستاده شدند. 3 ماشین کار می‌کرد، ارزان بود، و بی‌سروصدا از همسایگانش جلوتر بود.
اینجا جایی است که نویسنده‌ای دقیق باید در برابر خودش ایستادگی کند. اقتصاد مبنا ادعایی است دربارهٔ ذخیره و پردازش اعداد تحت فرض‌های هزینه‌ای مشخص، و حتی ریاضی‌دانان خاطرنشان می‌کنند که این فرض‌ها تنها تقریبی‌اند؛ حسابرسی کامل‌تر اغلب دوباره مبنای دو را توجیه می‌کند، و به همین دلیل جهان بر پایهٔ آن کار می‌کند. 1 یک معمای ادغامی بانک حافظه نیست؛ هیچ‌کس در زنگ تفریح شمار لامپ‌ها را کمینه نمی‌کند. پس 3927 به هیچ معنای مهندسیِ جدی «کارآمدتر» نیست، و گفتن چنین چیزی تقلب خواهد بود.
و با این حال. بازی چیزی راستین را به ارث می‌برد. رشد با سه برابر شدن در حرکت‌هایی کمتر و پرپیامدتر به اعداد بزرگ می‌رسد؛ هر ادغام کار بیشتری انجام می‌دهد، و مکعب 3×3×3 کوچک‌ترین تخته‌ای است که به آمیزش سه‌تایی اجازه می‌دهد در همهٔ جهت‌ها نفس بکشد. 4 طراحی تصادفاً به سه برنخورد؛ روی همان عدد صحیحی فرود آمد که ریاضیات شمارش از سپیده‌دم رایانش الکترونیکی بی‌سروصدا ترجیحش داده است، همان که مهندسان Setun آگاهانه برگزیدند. دو عددی است که به‌طور پیش‌فرض به آن رسیدیم. سه عددی است که اگر کارایی، و نه شیر یا خط، حرف آخر را می‌زد، برمی‌گزیدیم. اینکه کاشی‌ها از قضا 3، 9، 27 را هجی می‌کنند، شوخی کوچکی است که کیهان از پیش می‌گفت.
Game facts, the 3×3×3 board, six shift directions, three-tile ×3 merge, and the 3·9·27 naming, are measured from the game's design documents. Mathematical and historical claims are drawn from the references below.