دو بازی ادغامی، یک پرسش: آیا می‌توان هیچ‌یک را بی‌خطا بازی کرد؟ پاسخ از گوشهٔ یک تخته می‌گذرد، از حریفی که هرگز از راه نمی‌رسد، و از عددی به بلندای هفده توان.
به انگلیسی نوشته و ویرایش شده است. این نسخهٔ فارسی با ترجمهٔ ماشینی تهیه شده است؛ هر جا دقت اهمیت دارد، متن اصلی انگلیسی معتبر است. خواندن متن اصلی به انگلیسی ←
از بازی‌ای آغاز کنیم که همه می‌شناسند. 2048، با چهار جهت، شبکه‌ای 4×4 و کاشی‌هایی که با برخورد دو برابر می‌شوند، به‌معنای دقیق کلمه حل‌نشده است. هیچ‌کس الگوریتمی ننوشته که آن را بی‌نقص بازی کند. آنچه داریم تقریب‌هایی بسیار قوی است. یک جست‌وجوی expectimax که حدود هشت حرکت پیش را می‌کاود و هر تخته را با چند معیار ابتکاریِ دستی‌تنظیم‌شده نمره می‌دهد، یعنی خانه‌های باز، کاشی‌های بزرگ چسبیده به یک لبه و هموار بودن، در بیش از یک‌سوم بازی‌هایش به کاشی 32768 می‌رسد، 1 و قوی‌ترین موتور عمومی در چند درصد از دفعات به کاشی 65536 دست می‌یابد. 2 اگر بازی به تخته‌ای m×n تعمیم داده شود، صرفِ تصمیم اینکه آیا یک کاشی هدف دسترس‌پذیر است یا نه، NP-دشوار است. 3 قوی بودن همان حل‌شده بودن نیست.
یک کاشی منفرد تا کجا می‌تواند بالا برود؟ روی شانزده خانه، پاسخ قطعه‌ای کوچک و ظریف از شمارش است. تخته را همچون پلکانی نزولی بچینید: 65536، 32768، 16384، و همین‌طور پایین تا یک 2 تنها. هر کاشی دقیقاً یک توانِ دو پایین‌تر از همسایه‌اش است، پس شانزده توان متمایز 21 تا 216 تخته را کاملاً پر می‌کنند و 65536 = 216 بر قله می‌نشیند: یک توان برای هر خانه. این سقف است اگر بازی همیشه فقط 2 به شما بدهد. اما 2048 از هر ده بار یک بار یک 4 پدید می‌آورد، و یک 4 به‌موقع، توان هفدهمی را پنهانی وارد می‌کند و بیشینهٔ واقعی را به 131072 = 217 می‌رساند: توان‌هایی به ارزش هفده کاشی که در شانزده مربع جا داده شده‌اند. 4 هیچ انسانی آن را نساخته است؛ چند هوش مصنوعی به آن نزدیک شده‌اند.
چرا این تخته‌ها به جا دادن بزرگ‌ترین کاشی در یک گوشه پاداش می‌دهند؟ کاشی‌ای در میانه را می‌توان به چهار سو هل داد، و پیوسته از کاشی‌هایی که می‌خواهد با آن‌ها وصلت کند جدا می‌شود. کاشی گوشه دو دیواره را لمس می‌کند؛ هل دادن به سوی دیواره‌هایی که از پیش به آن‌ها چسبیده نمی‌تواند جابه‌جایش کند، و تا وقتی از هل دادن در جهت دور شدن از آن‌ها پرهیز کنید، سر جایش می‌ماند در حالی که همه‌چیز پیرامونش سامان می‌گیرد. باقی کاشی‌ها را به‌صورت ماری یکنواخت زنجیر کنید، بالاترین در گوشه، که به ترتیب نزولی رفت‌وبرگشت تا می‌خورد، و یک کشیدن انگشت می‌تواند آبشاری از ادغام‌ها را به راه بیندازد. 1 این همان معیار ابتکاری است که بر بازی معمولی انسان‌ها چیره است، و تقریباً همان چیزی است که هوش‌های مصنوعی وقتی اجازه یابند وزن‌های خود را تنظیم کنند، از نو کشف می‌کنند.
بازی ادغامی با پدیدآمدن تصادفی کاشی‌ها حریفی ندارد، تنها آب‌وهوا دارد. «حل کردن» آن یعنی شکست دادن تاس به‌طور میانگین، نه شکست دادن یک ذهن.
اکنون تخته را به سه بُعد کج کنید. 3927 خویشاوند مکعبی 2048 است: شبکه‌ای 3×3×3 با 27 خانه، شش جهت جابه‌جایی به جای چهار، و کاشی‌هایی که سه‌تا‌سه‌تا در هم می‌آمیزند، 3 به 9 به 27 به 81؛ مبنای سه، در جایی که 2048 مبنای دو است. 5 آیا چیدن در گوشه از بُعد اضافه جان به در می‌برد؟ مکعب هشت گوشه دارد، و خانهٔ گوشه اکنون سه وجه را لمس می‌کند نه دو، پس باید حتی پایدارتر باشد، چون هم‌زمان با سه دیواره مهار شده است، هرچند شش جهت راه‌های بیشتری به تخته می‌دهد تا ساختار شما را از هم بپاشد. مار به مسیری تاخورده بدل می‌شود که از هر سه لایه می‌گذرد. تا جایی که من یافته‌ام، هیچ‌کس بررسی نکرده که آیا این قیاس واقعاً برقرار است یا نه؛ این استدلال است، نه اندازه‌گیری.
و سقف؟ قاعدهٔ یک توان برای هر خانه، 327 ≈ 7.6 تریلیون را به‌عنوان کران بالایی سست پیشنهاد می‌کند. اما این قیاس به‌شدت ترک برمی‌دارد. توان اضافهٔ 2048 از یک 4 خوش‌اقبال می‌آمد؛ 3927 همیشه تنها کوچک‌ترین کاشی، یعنی یک 3 خالی، را پدید می‌آورد، پس هیچ پاداشی در کار نیست. بدتر از آن، ادغام سه‌تایی به سه کاشی هم‌خط نیاز دارد، و هر ردیف، ستون و ستونک عمودی در مکعب 3×3×3 دقیقاً سه خانه طول دارد، پس هر ادغام یک خط کامل را مصرف می‌کند. این قید بسیار سخت‌تر از هر چیزی در بازی تخت گاز می‌گیرد و تقریباً به‌یقین بیشینهٔ واقعی را بسیار پایین‌تر از 327 می‌کشد. آن عدد واقعی چیست؟ من آن را در هیچ‌جا محاسبه‌شده نیافته‌ام. (استدلالی که به‌روشنی برچسب خورده است؛ سازوکارهای بالا از اسناد طراحی بازی سنجیده شده‌اند.)
این همان ظرافتی است که «بازی بی‌نقص» را لغزنده می‌کند. بازی ادغامی با پدیدآمدن تصادفی کاشی‌ها یک بازی تصادفی تک‌نفره است، یک‌نفره‌ای در برابر تاس، نه یک دوئل. هیچ چیز بدترین کاشی را برنمی‌گزیند تا شما را نابود کند؛ تنها مولد اعداد تصادفی (RNG) هست، بی‌اعتنا. پس مفهوم درست بازی بهینه expectimax است: بیشینه کردن پیامد مورد انتظار بر روی توزیع کاشی‌های پدیدآمده. این قاطعانه minimax نیست؛ minimax حریفی را فرض می‌گیرد، و اگر واقعاً به حریفی اجازه دهید هر کاشی را بگذارد («evil 2048»، یعنی 2048 بدخواه)، بازی به چیزی سنگدلانه‌تر بدل می‌شود که می‌توان شما را به باختن در آن واداشت. چون تاس در اصل می‌تواند هر دنباله‌ای را بدهد، راهبردی که کاشی معینی را تضمین کند ممکن است اصلاً وجود نداشته باشد. پس پاسخ صادقانه به «آیا راهبردی بی‌نقص وجود دارد؟» این است که برای یک بازی تصادفی، بهترین چیزی که حتی می‌توان تعریف کرد، راهبردی است که به‌طور میانگین بهترین باشد، و محاسبهٔ دقیق آن برای 2048 دست‌نیافتنی است 6 و برای 3927 پرسشی کاملاً باز.