3927 · خوراک اندیشه

آیا 3927 از 2048 دشوارتر است؟

رویارویی فضای حالت میان شبکه‌ای تخت از دوها و مکعبی که سراسر از سه‌ها ساخته شده است.

به انگلیسی نوشته و ویرایش شده است. این نسخهٔ فارسی با ترجمهٔ ماشینی تهیه شده است؛ هر جا دقت اهمیت دارد، متن اصلی انگلیسی معتبر است. خواندن متن اصلی به انگلیسی ←

01 · دو اقیانوس

پرسش ساده به نظر می‌رسد. شمردن پاسخ ساده نیست.

هر دو بازی معماهای عددیِ لغزشی‌اند. در 2048 شبکه‌ای 4×4 با شانزده خانه را به یکی از چهار جهت هل می‌دهید؛ کاشی‌های برابر به هم می‌خورند و دو برابر می‌شوند و از توان‌های دو بالا می‌روند. در 3927 مکعبی 3×3×3 با بیست‌وهفت خانه را به یکی از شش جهت هل می‌دهید؛ سه بلوک برابر به هم می‌خورند و سه برابر می‌شوند و از توان‌های سه بالا می‌روند: 3، 9، 27، یعنی همان رقم‌های نام بازی. ¹ پرسیدن اینکه کدام دشوارتر است، در واقع پرسیدن این است که کدام بازی اقیانوس بزرگ‌تری از موقعیت‌های ممکن را پنهان کرده است. پس بیایید بکوشیم این آب را اندازه بگیریم.

02 · نما

شمار خانه‌ها از دستگاه عددی مهم‌تر است.

اندازهٔ خام یک تخته به‌صورت (نمادها در هر خانه)^cells رشد می‌کند، که cells همان شمار خانه‌هاست. شمار خانه‌ها در نما نشسته است، و همهٔ اهرم همان‌جاست. 2048 شانزده خانه دارد؛ 3927 بیست‌وهفت خانه. اگر الفبای هر خانه را ثابت نگه دارید، مکعب از همین حالا تقریباً با ضریب a²⁷⁻¹⁶ = a¹¹ بزرگ‌تر است؛ با الفبایی ده‌نمادی، همین به‌تنها یک صد میلیارد برابر حالت بیشتر است، پیش از آنکه هر چیز دیگری را به حساب آوریم. بُعد اضافه، و نه حساب مبنای 3، موتور واقعی است.

03 · الفبا

آنچه یک خانهٔ تنها می‌تواند بگوید.

هر خانه یا خالی است یا یک مقدار کاشی را در خود دارد. برای 2048 با سقف کاشی 256، هر خانه یکی از نُه نماد را بیان می‌کند: خالی، به‌علاوهٔ {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}. یک کران بالای منتشرشده که دقیقاً از همین الفبا ساخته شده، تختهٔ 4×4 را حدود 5.63 × 10¹⁴ موقعیت برآورد می‌کند، و نویسندگانش صراحتاً می‌گویند که این سقف تخته‌های غیرمجاز را هم در بر می‌گیرد، تخته‌هایی که هرگز در عمل رخ نمی‌دهند. ² اگر به 3927 عمقی هم‌ارز بدهید، یعنی خالی به‌علاوهٔ {3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187}، هشت نماد، سقف خامش 8²⁷ ≈ 2.4 × 10²⁴ می‌شود. مبنای 3 برای 3927 در هر خانه نمادهای کمتری از مبنای 2 به بار می‌آورد؛ یازده خانهٔ اضافه آسمان را به آن بازمی‌گردانند.

نردبان مقادیر را کمی عمیق‌تر کنید و سقف 3927 از سقف 2048 چیزی میان یک میلیارد تا صد میلیارد برابر پیش می‌افتد. مکعب در نما برنده است.

04 · جمع‌بندی

سقف‌ها، و معدود شمارش‌های دقیقی که در دست داریم.

هیچ‌کس حالت‌های دسترس‌پذیر 2048 در اندازهٔ کامل را برنشمرده است، چه رسد به 3927. اما پژوهشگران تخته‌های کوچک‌شدهٔ 2048 را به‌طور کامل حل کرده‌اند، و آن ارقام دقیق به برآوردهای ما لنگر می‌دهند. یک تختهٔ 3×3 از 2048 شامل 48,713,519 حالت دسترس‌پذیر است؛ آن را به 4×3 بکشید و شمار حالت‌ها از یک تریلیون می‌گذرد: 1,152,817,492,752 حالت، با 739,648,886,170 موقعیت متمایز پس از حرکت. ³ هر خانهٔ افزوده جهان را چند برابر می‌کند. این منحنی را تا 27 خانه برون‌یابی کنید و هیچ جدول صادقانه‌ای نمی‌تواند یک عدد واحد چاپ کند.

رویارویی ترکیبیاتی: برآوردها و کران‌های بالا، نه شمارش‌های دقیق
ویژگی	2048	3927
تخته	تخت 4×4	مکعب 3×3×3
خانه‌ها	16	27
مبنای عددی	2	3
قاعدهٔ ادغام	2 همسان ← دو برابر	3 همسان ← سه برابر
جهت‌های جابه‌جایی	4	6
نماد / خانه (با عمق هم‌ارز)	9	8
سقف خام (با احتساب غیرمجازها)	~1.9 × 10¹⁵	~2.4 × 10²⁴
کران بالای دقیق‌ترِ مستند	5.63 × 10¹⁴	هیچ موردی منتشر نشده
شمارش دقیق، زیرتختهٔ 4×3	1.15 × 10¹²	,

یادداشتی دربارهٔ صداقت

هر عدد بزرگ در اینجا یک کران بالا یا برآوردی در حد مرتبهٔ بزرگی است، هرگز یک سرشماری. سقف‌ها تخته‌هایی را می‌شمارند که بازی مجاز هرگز به آن‌ها نمی‌رسد؛ مثلاً تخته‌ای که تنها یک کاشی تک در آن است (هر دو بازی با دو کاشی آغاز می‌شوند، و پس از هر حرکت یک کاشی تازه می‌افزایند، پس هیچ تخته‌ای هرگز به یک کاشی تنها نمی‌رسد)، یا مقادیری که هیچ دنبالهٔ ادغامی نمی‌تواند پدید آورد. ارقام 2048 از پژوهش‌های داوری‌شده گرفته شده‌اند؛ ارقام 3927 سقف‌های سرانگشتی خود من‌اند که به همان روش محاسبه شده‌اند، و باید آن‌ها را چنین خواند: «نه بزرگ‌تر از این، احتمالاً بسیار کمتر». قواعد هر دو بازی از اسناد طراحی خود بازی سنجیده شده‌اند، نه اینکه فرض شده باشند.

05 · انشعاب

یک حرکت منفرد چه پهنایی دارد؟

اندازهٔ فضای حالت نقشه است؛ ضریب انشعاب سرعتی است که با آن این نقشه را می‌پیمایید. در هر نوبت بازیکن جهتی را برمی‌گزیند، تا چهار جهت در 2048 و تا شش جهت در 3927، پس مکعب در هر حرکت پنجاه درصد انتخاب واقعی بیشتر پیش می‌نهد. سپس بخت وارد میدان می‌شود: بازی کاشی تازه‌ای را در یک خانهٔ خالی تصادفی می‌اندازد. 2048 یک 2 یا یک 4 پدید می‌آورد، یعنی تقریباً دو پیامد برای هر خانهٔ باز در حداکثر پانزده خانهٔ خالی؛ 3927 همیشه یک 3 تنها پدید می‌آورد، اما در حداکثر بیست‌وشش خانهٔ خالی. ¹ تصمیم را در بخت ضرب کنید و درخت بازی 3927 در هر لایه پهن‌تر باز می‌شود، و چون ادغام‌های سه‌تایی از ادغام‌های دوتایی نادرترند، دست‌های آن معمولاً طولانی‌تر می‌شوند و درخت را افزون بر پهن‌تر شدن، عمیق‌تر هم می‌کنند.

06 · داوری

با تنها معیاری که می‌توانیم بشماریم، آری.

«دشوارتر» برای یک انسان مسئلهٔ احساس است، و 2048 هم حریف آسانی نیست: تصمیم اینکه آیا یک موقعیت دلخواه می‌تواند به کاشی هدف برسد، روی تخته‌ای با اندازهٔ دلخواه به‌طور اثبات‌پذیر NP-دشوار است. ⁴ اما به‌عنوان یک شیء ترکیبیاتی، 3927 با فاصله‌ای زیاد و منصفانه جانور بزرگ‌تر است: خانه‌های بیشتر در نما، جهت‌های بیشتر در انشعاب، بازی‌های طولانی‌تر در عمق. حساب مبنای 3 که نام بازی را به آن داده، تقریباً ردّ گم‌کن است. دشواری هرگز در سه‌ها نبود. در بُعد سوم بود.

Sources & method

Rules of 3927 and 2048, board dimensions, merge rules, shift directions, and tile-spawn behavior, measured from the game's design documents.
Alexey Slizkov, Computational bounds for the 2048 game (2023). Gives an upper bound of ~5.63×10¹⁴ positions for the 4×4 board at tile cap 256, explicitly including illegal positions. arxiv.org/abs/2303.07266
Tomoyuki Kaneko & Shuhei Yamashita, Strongly Solving 2048_4×3 (2025). Exact reachable-state counts: 48,713,519 for 3×3 and 1,152,817,492,752 for 4×3 (739,648,886,170 afterstates). arxiv.org/abs/2510.04580
Stefan Langerman & Yushi Uno, Threes!, Fives, 1024!, and 2048 are Hard, FUN 2016. Proves NP-hardness of 2048-type games on an m×n board. arxiv.org/abs/1505.04274

Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 9¹⁶ and 8²⁷ are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.