تختهٔ روزانه هفت کاشی پهنا و هفت کاشی بلندا دارد. کوچک به نظر میرسد. اما وقتی میشمارید به چند شیوه میتوان آن را چرخاند، آن عدد دیگر اصلاً کوچک به نظر نمیرسد.
به انگلیسی نوشته و ویرایش شده است. این نسخهٔ فارسی با ترجمهٔ ماشینی تهیه شده است؛ هر جا دقت اهمیت دارد، متن اصلی انگلیسی معتبر است. خواندن متن اصلی به انگلیسی ←
هر کاشی در Conduit چهار جهتگیری ممکن دارد: صفر، یک، دو یا سه ربعگردش از جایی که قرار گرفته است. 1 اگر به هر یک از چهلونه خانهٔ شبکهٔ روزانه انتخابی مستقل از میان این چهار جهت بدهید، شمار حالتهای متمایز تخته برابر با 449 میشود. این عدد، بهصورت کامل، 316,912,650,057,057,350,374,175,801,344 است؛ بیش از سیصد اکتیلیون پیکربندی، که بازی از شما میخواهد از میان آنها یکی را بیابید که کاملاً روشن و بدون نشتی باشد.
درهمریزیای که معما را به دست شما میدهد، برای هر کاشی شماری تصادفی از ربعگردشها، از صفر تا سه، برمیگزیند. 1 پس تختهای که با آن روبهرو میشوید بهطور یکنواخت از آن فضای عظیم بیرون کشیده شده است، منهای یک استثنای سنجیده که بازی برای پرهیز از دادن شبکهای از پیش حلشده به شما اعمال میکند. 1 جستوجوی فراگیر (brute force) منتفی است: آزمونهای خود بازی یادآور میشوند که امتحانکردن هر چهار چرخش هر کاشی رشدی نمایی دارد، و جستوجوی جامع را تنها روی تختههای اسباببازیوار با نه خانه یا کمتر اجرا میکنند. 2
آن عدد سرتیتری بیش از اندازه میشمارد، چون برای برخی کاشیها فرقی نمیکند چگونه آنها را بچرخانید. یک چهارراهی، با رابط در هر چهار سمت، در هر چهار جهتگیری یکسان به نظر میرسد؛ چرخاندنش هیچچیز را تغییر نمیدهد. یک خط مستقیم تنها دو ظاهر متمایز دارد، افقی و عمودی، چون نیمگردش آن را روی خودش مینشاند. تنها شکلهای نامتقارن، یعنی زانویی، سهراهی و سرِ تکرابط، بهراستی هر چهار جهتگیری متمایز را دارند. 3
| شکل | رابطها | چرخشهای متمایز | تقارن |
|---|---|---|---|
| سر (گره/لامپ) | 1 | 4 | ندارد |
| خط | 2 | 2 | نیمگردش |
| زانویی | 2 | 4 | ندارد |
| سهراهی | 3 | 4 | ندارد |
| چهارراهی | 4 | 1 | کامل |
نام شکلها در یادداشتهای طراحی بازی آمده است؛ شمار جهتگیریهای متمایز از این واقعیت نتیجه میشود که ماسک چهاربیتی رابطها زیر چرخشهای فهرستشده بدون تغییر میماند. 3 فضای جستوجوی مؤثر دقیقاً به اندازهٔ حاصلضرب این تقارنهای هر کاشی از 449 کوچکتر است، اما روی هر تختهای با آمیزهای سالم از زانوییها و سهراهیها، همچنان بهطرزی نجومی بزرگ است.
پرسش را وارونه کنید. جهتگیریهایی را که ممکن است امتحان کنید فراموش کنید؛ بپرسید اصلاً چند تختهٔ حلشده ممکن است. یک شبکهٔ تمامشدهٔ Conduit مجموعهای از لوله است که به هم متصل است، نیرو به هر کاشی میرسد، و هیچ حلقهٔ بیهودهای ندارد، چون آنچه مولد میسازد یک درخت پوشا است: همبند، بدون دور، با یک مسیر از منبع به هر گره. 3 هر چنین سیمکشیای، دقیقاً، یک درخت پوشا از گراف شبکه است، که در آن رأسها خانهها هستند و یالها مرزهای مشترکی که یک لوله میتواند بر آنها پل بزند.
و درختهای پوشا را میتوان دقیقاً شمرد. قضیهٔ ماتریسدرخت کیرشهف، نتیجهای از سال 1847، میگوید شمار درختهای پوشای هر گراف برابر است با هر همسازهٔ ماتریس لاپلاسی آن، دترمینانی که میتوان آن را در زمان چندجملهای محاسبه کرد. 4 برای شبکهها این شمار با اندازه منفجر میشود: یک مشبک سادهٔ 4×4 همین حالا 100,352 درخت پوشا دارد، و عدد از آنجا به بعد سرسامآور بالا میرود. هر یک از آنها یک راهحل مشروع و کاملاً روشن Conduit است. معما دشوار است نه به این دلیل که پاسخها کمیاباند، بلکه چون در جمعیتی بسیار بزرگتر از شبهپاسخها پنهان شدهاند.
حالتهای حلشده شمردنی و بسیارند؛ حالتهای درهمریخته شمردنی و بهمراتب بیشترند. حلکردن، جستوجوی سوزنی است که میدانید وجود دارد، چون بازی آن را عمداً همانجا پنهان کرده است.
شاید امیدوار باشید معما تجزیهپذیر باشد: گوشهٔ بالا-چپ را درست کنید، سپس کاشی کنارش را، و مرتب و منظم تا گوشهٔ دور پیش بروید. گاهی بخشی از تخته واقعاً به این روش تن میدهد. کاشیای در گوشه تنها دو لبه دارد که با همسایهها تماس دارند، پس رابطهایش بهشدت مقید است؛ یک کاشی سر (بنبست) روی مرز تنها میتواند رو به درون اشاره کند. این حرکتهای اجباری جای پا میدهند.
اما دو شرط برد به این خوشخدمتی به هم زنجیر نمیشوند. بدون نشتی ویژگیای محلی است؛ میتوانید آن را لبه به لبه بررسی کنید. برقدار چنین نیست: اینکه کاشیای روشن باشد به زنجیرهای ناگسسته از اتصالها بستگی دارد که تا خود منبع، و چهبسا در سراسر تخته، پیش میرود. 3 تغییری که در یک گوشه میدهید میتواند با شکستن تنها مسیری که ناحیهای دور را تغذیه میکرد، آن ناحیه را در تاریکی فرو ببرد. همین جفتشدگی، که سرنوشت هر کاشی بهطور بالقوه به مسیری در کل شبکه گره خورده است، همان چیزی است که نمیگذارد یک معمای چرخشی به حسابداری آسان فرو بکاهد، و به همین دلیل است که حلکنندههای خانوادهٔ گستردهتر Net/Pipes (معماهای لولهکشی) به انتشار قید و جستوجو تکیه میکنند، نه به یک جاروب سادهٔ چپبهراست. 5
با همهٔ پهناوری فضای حالت، کمیتی که Conduit شما را بر اساس آن نمره میدهد کوچک و انسانی است: چند بار ضربه زدهاید. امتیاز برابر است با 1000 − 4 × حرکتها − 2 × ثانیهها، با کف صفر. 3 برای هر تختهٔ مفروض یک کمینهٔ نظری برای شمار چرخشها وجود دارد، یعنی مجموعِ کمترین ربعگردشهای لازم برای رسیدن هر کاشی به جهتگیری حلشده، و هر چرخش هدررفته فراتر از آن چهار امتیاز و هر ثانیهٔ بیکاری دو امتیاز از شما میگیرد.
پس بازی واقعی میان دو واقعیت عظیم و یک واقعیت کوچک جای گرفته است. انبار کاه به پهنای 449 جهتگیری است؛ سوزنها درختهای پوشای فراوان شبکهاند؛ و کار شما این است که با کمترین شمار ممکن از تنها حرکت مجاز، از یکی به دیگری سفر کنید. ترکیبیات تضمین میکند که پاسخی آن تو هست. امتیازدهی بیسروصدا شما را به چالش میکشد که آن را بدون سرگردانی بیابید. 4